纯粹的量子现象：电子自旋与泡利矩阵

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在量子力学的版图中，电子自旋 (Electron Spin) 是一个独特而迷人的概念。它是一种内禀的 (intrinsic) 角动量，与电子的轨道运动无关，是粒子与生俱来的一种属性。由于它没有经典力学中的对应物（不能想象成一个“自转的小球”），我们必须借助抽象的代数和矩阵工具来描述它，而泡利矩阵正是为此而生的。

一、 电子自旋的核心特性

  1. 内禀角动量: 自旋是一种角动量，因此它遵循普遍的角动量对易关系，如 $[\hat{S}_x, \hat{S}_y] = i\hbar\hat{S}_z$。

  2. 量子化:

    • 自旋量子数 $s$: 对电子而言，其自旋量子数是一个固定值 $s = 1/2$。
    • 自旋大小: 自旋角动量的总大小也是固定的，其平方的本征值为：
      $$ \hat{S}^2 \implies s(s+1)\hbar^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+1\right)\hbar^2 = \frac{3}{4}\hbar^2 $$
    • 空间取向的量子化: 自旋在任意方向上的投影（分量），其测量值只能是两个离散值之一：
      $$ \hat{S}_z \text{ (或 } \hat{S}_x, \hat{S}_y) \implies m_s\hbar = \pm\frac{1}{2}\hbar $$
  3. 矩阵描述: 由于自旋只有两个基本状态（通常称为“自旋向上”和“自旋向下”），它可以用一个二维的复数向量空间来描述。因此，自旋算符天然地由 2x2 矩阵表示。

二、 泡利矩阵：自旋的数学语言

泡利矩阵 $\hat{\boldsymbol{\sigma}}$ 是三个厄米、无迹的 2x2 矩阵，它们构成了描述自旋算符的基础。

  • 定义:

    $$ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

  • 与自旋算符的关系 (核心公式):

    $$ \hat{\mathbf{S}} = \frac{\hbar}{2}\hat{\boldsymbol{\sigma}} \quad \text{即} \quad \hat{S}_x = \frac{\hbar}{2}\sigma_x, \quad \hat{S}_y = \frac{\hbar}{2}\sigma_y, \quad \hat{S}_z = \frac{\hbar}{2}\sigma_z $$

自旋本征态 (在 $S_z$ 基底下)

我们通常选择 $S_z$ 的本征态作为描述自旋状态的基矢：

  • 自旋向上态 (Spin Up):
    $$ \chi_{+} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \text{对应 } S_z \text{ 本征值 } +\frac{\hbar}{2} $$
  • 自旋向下态 (Spin Down):
    $$ \chi_{-} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \text{对应 } S_z \text{ 本征值 } -\frac{\hbar}{2} $$
    任何一个自旋态都可以表示为这两个基矢的线性叠加：$|\chi\rangle = c_1 \chi_+ + c_2 \chi_-$。

三、 综合应用例题

问题:
一个电子的自旋状态由以下归一化的态矢量描述：

$$ |\chi\rangle = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2i \end{pmatrix} $$

求:

  1. 如果在该状态下测量自旋的 z-分量 ($S_z$)，可能的结果是什么？得到这些结果的概率各是多少？
  2. 计算在该状态下，自旋的 x-分量和 y-分量的平均值（期望值），即 $\langle \hat{S}_x \rangle$ 和 $\langle \hat{S}_y \rangle$。
  3. 该状态是 $\hat{S}_x$ 的本征态吗？为什么？

解答:

1. 测量 $S_z$ 的结果与概率

  • 可能的结果: 测量 $S_z$ 的结果只能是其本征值，即 $+\hbar/2$ 和 $-\hbar/2$。

  • 计算概率: 我们将态矢量 $|\chi\rangle$ 写成 $S_z$ 本征态的叠加形式：

    $$ |\chi\rangle = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{2i}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\chi_+ + \frac{2i}{\sqrt{5}}\chi_- $$

    • 得到 $+\hbar/2$ 的概率是其系数的模平方：
      $$ P(+\hbar/2) = \left|\frac{1}{\sqrt{5}}\right|^2 = \frac{1}{5} $$
    • 得到 $-\hbar/2$ 的概率是其系数的模平方：
      $$ P(-\hbar/2) = \left|\frac{2i}{\sqrt{5}}\right|^2 = \frac{|2i|^2}{5} = \frac{4}{5} $$
      (检查: $1/5 + 4/5 = 1$，总概率守恒)

2. 计算 $\langle \hat{S}_x \rangle$ 和 $\langle \hat{S}_y \rangle$

我们使用平均值公式 $\langle\hat{A}\rangle = \langle\chi|\hat{A}|\chi\rangle = \chi^\dagger \hat{A} \chi$。
首先，计算 $\chi^\dagger$ (共轭转置)：

$$ \chi^\dagger = \left(\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2i \end{pmatrix}\right)^\dagger = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & -2i \end{pmatrix} $$

  • 计算 $\langle \hat{S}_x \rangle$:

    $$ \langle \hat{S}_x \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & -2i \end{pmatrix} \left(\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2i \end{pmatrix} $$

    $$ = \frac{\hbar}{10} \begin{pmatrix} 1 & -2i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{10} (1 \cdot 2i + (-2i) \cdot 1) = \frac{\hbar}{10} (2i - 2i) = \boxed{0} $$

  • 计算 $\langle \hat{S}_y \rangle$:

    $$ \langle \hat{S}_y \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & -2i \end{pmatrix} \left(\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\right) \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2i \end{pmatrix} $$

    $$ = \frac{\hbar}{10} \begin{pmatrix} 1 & -2i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i \cdot 2i \\ i \cdot 1 \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{10} \begin{pmatrix} 1 & -2i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ i \end{pmatrix} $$

    $$ = \frac{\hbar}{10} (1 \cdot 2 + (-2i) \cdot i) = \frac{\hbar}{10} (2 - 2i^2) = \frac{\hbar}{10} (2 + 2) = \boxed{\frac{4\hbar}{10} = \frac{2\hbar}{5}} $$

3. 判断是否为 $\hat{S}_x$ 的本征态

判断一个态 $|\chi\rangle$ 是否是某个算符 $\hat{A}$ 的本征态，最直接的方法是看它是否满足本征方程 $\hat{A}|\chi\rangle = \lambda|\chi\rangle$ (其中 $\lambda$ 是一个常数)。

  • 我们来计算 $\hat{S}_x|\chi\rangle$：

    $$ \hat{S}_x|\chi\rangle = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2i \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{2\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix} $$

  • 我们将这个结果与原态 $|\chi\rangle$ 对比。是否存在一个常数 $\lambda$ 使得 $\frac{\hbar}{2\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix} = \lambda \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2i \end{pmatrix}$ ？
  • 显然不存在这样的常数 $\lambda$。
  • 结论: 该状态 $|\chi\rangle$ 不是 $\hat{S}_x$ 的本征态。

另一种判断方法：如果一个态是某个算符的本征态，那么测量该物理量的不确定度为零。我们在第2问中计算出 $\langle \hat{S}_x \rangle = 0$。如果它是本征态，其本征值只能是 $\pm\hbar/2$。既然平均值不等于任何一个本征值，它就不可能是本征态。

作者：GARFIELDTOM
邮箱：coolerxde@gt.ac.cn

标签: QUANTUM