量子力学的“规则”:对易、不确定性与测量

OAP

经典世界里,我们可以随心所欲地测量一个物体的任何属性。但在量子世界,测量行为本身会深刻地影响系统,测量的顺序变得至关重要。对易关系正是描述这种顺序效应的数学语言,它直接导向了著名的不确定性原理


一、 对易子:算符的“交换律”

1. 定义

两个算符 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 的对易子 (Commutator) 定义为:

$$ [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} $$

它衡量的是两种操作顺序(先A后B vs 先B后A)之间的差异。

2. 核心物理意义

  • 如果 $[\hat{A}, \hat{B}] = 0$:

    • 称 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 对易 (commute)
    • 物理含义: 对应的物理量 $A$ 和 $B$ 是相容的 (compatible)。这意味着:

      1. 它们可以同时被精确测量
      2. 它们拥有共同的本征函数系
      3. 测量 $A$ 不会影响 $B$ 的状态,反之亦然。
  • 如果 $[\hat{A}, \hat{B}] \neq 0$:

    • 称 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 不对易 (do not commute)
    • 物理含义: 对应的物理量 $A$ 和 $B$ 是不相容的 (incompatible)。这意味着:

      1. 它们不能同时被精确测量
      2. 测量其中一个,必然会干扰另一个的状态,使其变得不确定。

二、 不确定性原理:不对易的定量描述

不对易的关系可以用一个精确的数学不等式来量化,这就是海森堡不确定性原理

1. 通用形式

对于任意两个物理量 $A$ 和 $B$,其测量结果的标准差(不确定度)$\Delta A$ 和 $\Delta B$ 必须满足:

$$ (\Delta A)^2 (\Delta B)^2 \ge \left( \frac{1}{2i} \langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle \right)^2 $$

核心思想: 两个算符的对易子越大(离零越远),我们就越不可能同时把它们测准。不确定性是量子世界内禀的属性,而非测量技术不精导致。

2. 两个最重要的特例

物理量对易关系不确定性关系
位置-动量$[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar$$\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}$
角动量分量$[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z$$(\Delta L_x)^2 (\Delta L_y)^2 \ge \frac{\hbar^2}{4}\langle\hat{L}_z\rangle^2$

三、 综合应用例题

问题:
一个粒子被限制在一维无限深势阱中($0 \le x \le a$),并处于基态 $\psi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)$。

:

  1. 计算该状态下粒子位置的平均值 $\langle x \rangle$ 和动量的平均值 $\langle p_x \rangle$。
  2. 计算该状态下粒子位置的平方的平均值 $\langle x^2 \rangle$ 和动量的平方的平均值 $\langle p_x^2 \rangle$。
  3. 利用以上结果,计算位置不确定度 $\Delta x$ 和动量不确定度 $\Delta p_x$。
  4. 验证你的计算结果是否满足海森堡不确定性关系 $\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \hbar/2$。

解答:

1. 计算平均值 $\langle x \rangle$ 和 $\langle p_x \rangle$

  • $\langle x \rangle$:

    $$ \langle x \rangle = \int_0^a \psi_1^*(x) \hat{x} \psi_1(x) dx = \frac{2}{a} \int_0^a x \sin^2\left(\frac{\pi x}{a}\right) dx $$

    由于被积函数 $x \sin^2(\dots)$ 是关于中心点 $x=a/2$ 对称的,所以积分结果就是中心点的值。
    $$ \langle x \rangle = \frac{a}{2} $$

  • $\langle p_x \rangle$:

    $$ \langle p_x \rangle = \int_0^a \psi_1^*(x) (-i\hbar\frac{d}{dx}) \psi_1(x) dx = \frac{2}{a} \int_0^a \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) (-i\hbar) \left(\frac{\pi}{a}\right)\cos\left(\frac{\pi x}{a}\right) dx $$

    这是一个 $\sin(u)\cos(u)$ 型的积分,在一个周期内积分为零。
    $$ \langle p_x \rangle = 0 $$
    物理直觉: 在势阱中粒子来回反弹,向左和向右的概率相同,所以平均动量为零。

2. 计算平方的平均值 $\langle x^2 \rangle$ 和 $\langle p_x^2 \rangle$

  • $\langle x^2 \rangle$:

    $$ \langle x^2 \rangle = \frac{2}{a} \int_0^a x^2 \sin^2\left(\frac{\pi x}{a}\right) dx = a^2 \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2\pi^2}\right) $$

    (这个积分比较复杂,通常会作为已知结果或在公式表中给出)

  • $\langle p_x^2 \rangle$:
    我们知道 $\hat{H} = \hat{p}_x^2 / 2m$,所以 $\hat{p}_x^2 = 2m\hat{H}$。

    $$ \langle p_x^2 \rangle = \langle 2m\hat{H} \rangle = 2m \langle H \rangle $$

    因为粒子处于能量本征态 $\psi_1$,所以 $\langle H \rangle = E_1 = \frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$。

    $$ \langle p_x^2 \rangle = 2m \cdot \frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2} = \frac{\pi^2\hbar^2}{a^2} $$

3. 计算不确定度 $\Delta x$ 和 $\Delta p_x$

使用公式 $(\Delta A)^2 = \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2$。

  • $(\Delta x)^2$:

    $$ (\Delta x)^2 = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2 = a^2 \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2\pi^2}\right) - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{2\pi^2}\right) $$

    $$ \Delta x = a \sqrt{\frac{1}{12} - \frac{1}{2\pi^2}} \approx 0.18 a $$

  • $(\Delta p_x)^2$:

    $$ (\Delta p_x)^2 = \langle p_x^2 \rangle - \langle p_x \rangle^2 = \frac{\pi^2\hbar^2}{a^2} - 0^2 = \frac{\pi^2\hbar^2}{a^2} $$

    $$ \Delta p_x = \frac{\pi\hbar}{a} $$

4. 验证不确定性关系

计算不确定度乘积:

$$ \Delta x \cdot \Delta p_x = \left( a \sqrt{\frac{1}{12} - \frac{1}{2\pi^2}} \right) \cdot \left( \frac{\pi\hbar}{a} \right) = \hbar \pi \sqrt{\frac{1}{12} - \frac{1}{2\pi^2}} $$

$$ \approx \hbar \cdot 3.14159 \cdot \sqrt{0.08333 - 0.05066} \approx \hbar \cdot 3.14159 \cdot 0.1807 \approx 0.568 \hbar $$

而海森堡不确定性原理要求 $\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \hbar/2 = 0.5 \hbar$。
因为 $0.568 \hbar > 0.5 \hbar$,所以计算结果满足不确定性关系

作者:GARFIELDTOM
邮箱:coolerxde@gt.ac.cn

标签: QUANTUM