SM4 是一种分组长度和密钥长度均为 128 位的分组密码算法，采用 32 轮非平衡 Feistel 结构。明文分为四个 32 位字 $P=(X_0,X_1,X_2,X_3)$，每轮迭代为
$$ X_{i+4}=F(X_i,X_{i+1},X_{i+2},X_{i+3},rk_i)=X_i\oplus T(X_{i+1}\oplus X_{i+2}\oplus X_{i+3}\oplus rk_i) $$
其中合成变换 $T(A)=L(\tau(A))$，非线性变换 $\tau$ 将 32 位字分为 4 个字节并分别进行 S 盒代换，线性变换为
$$ L(B)=B\oplus(B\lll 2)\oplus(B\lll 10)\oplus(B\lll 18)\oplus(B\lll 24) $$
经过 32 轮后得到 $(X_{32},X_{33},X_{34},X_{35})$，再经反序变换得到密文
$$ C=R(X_{32},X_{33},X_{34},X_{35})=(X_{35},X_{34},X_{33},X_{32}) $$
密钥扩展由 128 位主密钥 $MK_0,MK_1,MK_2,MK_3$ 通过类似迭代过程生成轮密钥 $rk_i$。与 AES 相比，SM4 采用 Feistel 网络，加解密结构相同、仅轮密钥顺序相反，而 AES 采用 SPN 网络，解密需要逆操作；两者 S 盒均基于有限域 $GF(2^8)$ 求逆但仿射变换不同。文中还给出 Python 可视化线性变换 $L$ 的示例，输入 $0x657E5274$ 经过 $L$ 变换得到 $0x347a219b$。
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该文系统阐述了机器学习在材料科学中从组成特征到静态预测、再到动态过程建模的完整框架。第一章构建高维“材料性质空间”，将元素表示为属性向量 $\mathbf{v}_{\text{element}}=[p_1,p_2,\dots,p_n]$，化合物则通过原子分数加权平均得到 $\mathbf{f}_{\text{compound}}=\sum_{i\in\text{elements}}c_i\mathbf{v}_i$；但该组成级特征无法区分同分异构或同素异形体，例如 TiO$_2$ 的 rutile、anatase 和 brookite 带隙不同却具有相同特征向量，因此需引入结构信息如 GNN 或 Voronoi 指纹。第二章建立静态材料空间，学习从特征到性质的映射 $P\approx\hat P=f(\mathbf{f}_{\text{compound}};\theta)$，以均方误差 $\mathcal L_{MSE}=\frac1N\sum_{i=1}^N(P_i-f(\mathbf f_i;\theta))^2$ 训练模型并优化 $\theta^*=\arg\min_\theta\mathcal L$，示例使用梯度提升回归预测带隙，并以三元相图可视化性质景观。第三章引入过程与时间，将模型扩展为 $\hat P=f(\mathbf f_{\text{composition}},\mathbf P_{\text{process}};\theta)$，其中过程参数可为标量向量或时间-温度序列；以共析钢 TTT 图为例，说明同一成分经慢冷、等温转变和快冷可分别得到珠光体、贝氏体和马氏体，最终目标是从静态预测走向动态过程设计，实现给定目标组织逆向搜索最优工艺路径。
该文综述了机器学习在材料科学中的前沿进展，指出其正推动该领域从传统试错模式转向预测与加速发现的新范式，重点介绍了生成模型、物理信息神经网络（PINNs）和图神经网络（GNNs）三类先进模型及其数学原理与代码实现。生成模型用于逆向设计，通过潜在空间采样生成具有目标性能的新材料，其中变分自编码器的损失函数为
$$ \mathcal{L}(\theta,\phi;\mathbf{x})=\mathbb{E}_{q_\phi(\mathbf{z}|\mathbf{x})}[\log p_\theta(\mathbf{x}|\mathbf{z})]-D_{KL}(q_\phi(\mathbf{z}|\mathbf{x})\|p(\mathbf{z})) $$
PINNs 将物理定律嵌入训练过程，总损失由数据损失与物理损失加权构成
$$ \mathcal{L}_{Total}=\mathcal{L}_{Data}+\lambda\mathcal{L}_{Physics} $$
GNNs 则将晶体结构视为图，通过消息传递更新原子表示
$$ \mathbf{h}_i^{(l+1)}=\sigma\left(\mathbf{W}^{(l)}\cdot\left(\mathbf{h}_i^{(l)}+\sum_{j\in\mathcal{N}(i)}\mathbf{h}_j^{(l)}\right)\right) $$
文中还给出了 VAE 和 GNN 的概念性 Python 示例，并讨论了这些方法在加速材料发现、预测性能、生成新结构以及降低研发成本、风险和时间方面的应用前景。
微扰理论用于处理难以精确求解的量子系统，其核心是将哈密顿量分解为可精确求解的简单部分 $\hat{H}_0$ 和很小的微扰 $\hat{H}'$，即 $\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{H}'$，再从 $\hat{H}_0$ 的已知解出发逐级计算修正。
非简并情况下，一级能量修正为
$$E_n^{(1)}=\langle\psi_n^{(0)}|\hat{H}'|\psi_n^{(0)}\rangle=H'_{nn}$$
二级能量修正为
$$E_n^{(2)}=\sum_{k\neq n}\frac{|H'_{kn}|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}$$
波函数一级修正为
$$|\psi_n^{(1)}\rangle=\sum_{k\neq n}\frac{H'_{kn}}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}|\psi_k^{(0)}\rangle$$
能量二级近似为
$$E_n\approx E_n^{(0)}+E_n^{(1)}+E_n^{(2)}$$
简并情况下，需在简并子空间中构建微扰矩阵
$$W_{ij}=\langle\psi_{ni}^{(0)}|\hat{H}'|\psi_{nj}^{(0)}\rangle$$
通过求解其本征值得到一级能量修正，从而确定简并能级的分裂。例题中，系统哈密顿量矩阵包含二重简并能级 $E_0$ 和非简并能级 $E_3$，非简并的 $E_3$ 二级修正为 $\frac{|a|^2+|b|^2}{E_3-E_0}$，而简并子空间中的微扰矩阵为零，一级修正未解除简并，需借助更高阶修正或精确对角化处理。
在系统只有有限个离散状态时，量子力学可用矩阵力学描述：物理量算符为矩阵，量子态为列向量，求解系统性质归结为矩阵本征值问题。本征值方程
$$ \hat{A}v=\lambda v $$
中，本征值 $\lambda$ 是测量可能得到的确定值，本征向量 $v$ 是对应的本征态。求解步骤为：构造特征方程 $\det(\hat{A}-\lambda I)=0$，解出本征值，代回 $(\hat{A}-\lambda I)v=0$ 求本征向量，并归一化 $v_{\text{norm}}=v/\sqrt{v^\dagger v}$。文中以哈密顿量 $\hat{H}=\omega_0(\hat{S}_x+\hat{S}_z)$ 为例，其矩阵形式为
$$ \hat{H}=\frac{\hbar\omega_0}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} $$
解得能量本征值
$$ E=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\hbar\omega_0 $$
对应归一化本征态分别为
$$ |E_1\rangle=\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}-1\end{pmatrix},\qquad |E_2\rangle=\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}\begin{pmatrix}1\\-(1+\sqrt{2})\end{pmatrix} $$