量子力学的矩阵语言:本征值与本征函数

OAP

在量子力学中,当系统只有有限个离散状态时(例如电子自旋的“上”和“下”),使用矩阵力学来描述会比使用波函数更简洁、更直观。在这种描述下,物理量算符是矩阵,量子态是列向量。而求解系统的物理性质,就转化为了一个核心的数学问题——求解矩阵的本征值和本征向量


一、 核心概念与求解步骤

1. 物理意义

  • 本征值 (Eigenvalue): 代表了对物理量进行测量时,可能得到的确定数值。对于哈密顿量矩阵,其本征值就是系统的能量能级
  • 本征函数/本征向量 (Eigenvector): 代表了系统处于该物理量的本征态。当系统处于一个本征态时,测量对应的物理量,结果是确定无疑的。

2. 核心方程 (本征值方程)

对于一个算符(矩阵)$\hat{A}$,其本征值 $λ$ 和本征向量 $v$ 满足以下关系:

$$ \hat{A}v = \lambda v $$

这个方程的物理含义是:当算符 $\hat{A}$ 作用于它的本征态 $v$ 时,效果仅仅是给这个态乘以一个常数 $λ$,而没有改变这个态的“方向”。

3. 求解流程 (四步法)

步骤操作公式
1. 构造特征方程目标是求解本征值 $λ$$\det(\hat{A} - \lambda I) = 0$
2. 解代数方程解上一步得到的关于 $λ$ 的方程(无通用公式)
3. 求解本征向量将每个求出的 $λ$ 代回,解线性方程组$(\hat{A} - \lambda I)v = 0$
4. 归一化使本征向量的模长为1,满足概率守恒$v_{\text{norm}} = \frac{v}{\sqrt{v^\dagger v}}$

二、 综合应用例题

问题:
考虑一个与电子自旋相关的哈密顿量,它描述了电子在一个指向 $(1, 0, 1)$ 方向的磁场中的能量。该哈密顿量可以表示为:

$$ \hat{H} = \omega_0 (\hat{S}_x + \hat{S}_z) $$

其中 $\omega_0$ 是一个具有能量量纲的常数,$\hat{S}_x$ 和 $\hat{S}_z$ 是自旋算符。

:

  1. 写出该哈密顿量 $\hat{H}$ 的 2x2 矩阵形式。
  2. 求解该系统的能量本征值。
  3. 求解与每个能量本征值对应的、归一化的能量本征态。

解答:

1. 写出 $\hat{H}$ 的矩阵形式

我们知道自旋算符的矩阵形式为 $\hat{S}_i = (\hbar/2)\sigma_i$。

$$ \hat{S}_x = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{S}_z = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

将它们代入哈密顿量的表达式:

$$ \hat{H} = \omega_0 \left( \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right) $$

$$ \boxed{\hat{H} = \frac{\hbar\omega_0}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}} $$

2. 求解能量本征值

我们求解特征方程 $\det(\hat{H} - E \cdot I) = 0$。为了方便,我们先令 $\alpha = \frac{\hbar\omega_0}{2}$。

$$ \det\left( \alpha \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} E & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix} \right) = \det\begin{pmatrix} \alpha-E & \alpha \\ \alpha & -\alpha-E \end{pmatrix} = 0 $$

计算行列式:

$$ (\alpha-E)(-\alpha-E) - \alpha^2 = 0 $$

$$ -(E-\alpha)(E+\alpha) - \alpha^2 = 0 $$

$$ -(E^2 - \alpha^2) - \alpha^2 = 0 $$

$$ -E^2 + \alpha^2 - \alpha^2 = 0 \quad \implies \quad E^2 = 2\alpha^2 $$

Oops, calculation mistake. Let's re-calculate.

$$ (\alpha-E)(-\alpha-E) - \alpha^2 = -(\alpha-E)(\alpha+E) - \alpha^2 = -( \alpha^2 - E^2) - \alpha^2 = E^2 - 2\alpha^2 = 0 $$

$$ E^2 = 2\alpha^2 \quad \implies \quad E = \pm \sqrt{2}\alpha $$

将 $\alpha = \frac{\hbar\omega_0}{2}$ 代回,得到两个能量本征值:

$$ \boxed{E_1 = +\frac{\sqrt{2}}{2}\hbar\omega_0, \quad E_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\hbar\omega_0} $$

3. 求解归一化本征态

  • 对于 $E_1 = \sqrt{2}\alpha$:
    解方程 $(\hat{H} - E_1 I)v_1 = 0$:

    $$ \begin{pmatrix} \alpha-\sqrt{2}\alpha & \alpha \\ \alpha & -\alpha-\sqrt{2}\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1-\sqrt{2} & 1 \\ 1 & -1-\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = 0 $$

    从第一行得到方程:$(1-\sqrt{2})c_1 + c_2 = 0 \implies c_2 = (\sqrt{2}-1)c_1$。
    取 $c_1 = 1$,则 $c_2 = \sqrt{2}-1$。未归一化的本征向量 $v_1 = [1, \sqrt{2}-1]^\mathsf{T}$。
    归一化:模长的平方为 $1^2 + (\sqrt{2}-1)^2 = 1 + (2 - 2\sqrt{2} + 1) = 4 - 2\sqrt{2}$。
    归一化本征态为:

    $$ \boxed{|E_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2}-1 \end{pmatrix}} $$

  • 对于 $E_2 = -\sqrt{2}\alpha$:
    解方程 $(\hat{H} - E_2 I)v_2 = 0$:

    $$ \alpha \begin{pmatrix} 1+\sqrt{2} & 1 \\ 1 & -1+\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = 0 $$

    从第一行得到方程:$(1+\sqrt{2})c_1 + c_2 = 0 \implies c_2 = -(1+\sqrt{2})c_1$。
    取 $c_1 = 1$,则 $c_2 = -(1+\sqrt{2})$。未归一化的本征向量 $v_2 = [1, -(1+\sqrt{2})]^\mathsf{T}$。
    归一化:模长的平方为 $1^2 + (-(1+\sqrt{2}))^2 = 1 + (1 + 2\sqrt{2} + 2) = 4 + 2\sqrt{2}$。
    归一化本征态为:

    $$ \boxed{|E_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}} \begin{pmatrix} 1 \\ -(1+\sqrt{2}) \end{pmatrix}} $$

作者:GARFIELDTOM
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标签: QUANTUM