对易关系描述量子力学中算符操作顺序的差异，对易子定义为
$$ [\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A} $$
若 $[\hat{A},\hat{B}]=0$，则两算符对易，对应物理量相容，可同时精确测量并拥有共同本征函数系；若 $[\hat{A},\hat{B}]\neq0$，则两算符不对易，对应物理量不相容，不能同时精确测量，测量其中一个必然干扰另一个。不对易关系定量地导向海森堡不确定性原理，通用形式为
$$ (\Delta A)^2(\Delta B)^2\ge\left(\frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle\right)^2 $$
其中位置与动量满足 $[\hat{x},\hat{p}_x]=i\hbar$，故有
$$ \Delta x\cdot\Delta p_x\ge\frac{\hbar}{2} $$
角动量分量满足 $[\hat{L}_x,\hat{L}_y]=i\hbar\hat{L}_z$，对应不确定性关系
$$ (\Delta L_x)^2(\Delta L_y)^2\ge\frac{\hbar^2}{4}\langle\hat{L}_z\rangle^2 $$
文中以一维无限深势阱基态 $\psi_1(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)$ 为例，计算得到 $\langle x\rangle=\frac{a}{2}$、$\langle p_x\rangle=0$、$\langle x^2\rangle=a^2\left(\frac13-\frac{1}{2\pi^2}\right)$、$\langle p_x^2\rangle=\frac{\pi^2\hbar^2}{a^2}$，进而 $\Delta x=a\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2\pi^2}}\approx0.18a$、$\Delta p_x=\frac{\pi\hbar}{a}$，乘积
$$ \Delta x\cdot\Delta p_x\approx0.568\hbar\gt\frac{\hbar}{2} $$
满足海森堡不确定性关系。
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电子自旋是电子的一种内禀角动量，与轨道运动无关，没有经典对应物，需借助抽象代数和矩阵工具描述，泡利矩阵正是其数学语言。自旋遵循角动量对易关系 $[\hat{S}_x,\hat{S}_y]=i\hbar\hat{S}_z$，对电子而言自旋量子数固定为 $s=1/2$，自旋大小本征值为
$$ \hat{S}^2\Rightarrow s(s+1)\hbar^2=\frac34\hbar^2 $$
任意方向投影只能取两个离散值
$$ \hat{S}_z\Rightarrow m_s\hbar=\pm\frac{\hbar}{2} $$
自旋算符用 2×2 矩阵表示，泡利矩阵为
$$ \sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} $$
自旋算符与泡利矩阵的关系为
$$ \hat{\mathbf{S}}=\frac{\hbar}{2}\hat{\boldsymbol{\sigma}} $$
在 $S_z$ 基底下，自旋向上态为 $\chi_+=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$，对应本征值 $+\hbar/2$；自旋向下态为 $\chi_-=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$，对应本征值 $-\hbar/2$，任意自旋态可表示为二者的线性叠加。文中通过例题说明，对态
$$ |\chi\rangle=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\2i\end{pmatrix} $$
测量 $S_z$ 得到 $+\hbar/2$ 和 $-\hbar/2$ 的概率分别为 $1/5$ 和 $4/5$，期望值 $\langle\hat{S}_x\rangle=0$、$\langle\hat{S}_y\rangle=\frac{2\hbar}{5}$，且该态不是 $\hat{S}_x$ 的本征态，因为不存在常数 $\lambda$ 满足 $\hat{S}_x|\chi\rangle=\lambda|\chi\rangle$。
氢原子模型是量子力学中理解三维束缚态、简并和光谱选择定则的重要起点，其核心是中心力场中的角动量理论。氢原子哈密顿算符为
$$ \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} $$
能量本征值只依赖于主量子数 $n$，即
$$ E_n=-\frac{m_e e^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}\frac{1}{n^2}\approx-\frac{13.6\text{ eV}}{n^2} $$
波函数可分离为径向部分与球谐函数
$$ \psi_{nlm}(r,\theta,\phi)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi) $$
由主量子数 $n$、角量子数 $l$、磁量子数 $m$ 描述，分别决定能量、角动量大小 $L^2=l(l+1)\hbar^2$ 和角动量 $z$ 分量 $L_z=m\hbar$；不考虑自旋时能级 $E_n$ 为 $n^2$ 重简并。角动量算符满足
$$ [\hat{L}_x,\hat{L}_y]=i\hbar\hat{L}_z \quad (\text{及其循环置换}) $$
而
$$ [\hat{L}^2,\hat{L}_i]=0 $$
因此可同时精确测量角动量大小与某一分量，球谐函数 $Y_{lm}$ 是 $\hat{L}^2$ 和 $\hat{L}_z$ 的共同本征函数，本征值分别为 $l(l+1)\hbar^2$ 和 $m\hbar$。文中通过叠加态例题说明测量公设与态叠加原理：测量能量、角动量大小和 $L_z$ 时，可能值分别为对应算符本征值，概率为相应本征态系数的模平方，且总概率守恒。
一维无限深势阱是量子力学中最重要的基础模型，清晰展示了能量量子化、零点能和概率波三大特征。粒子被限制在 $0\le x\le a$ 内，势能为 $V(x)=0$（阱内）和 $V(x)=\infty$（阱外），需求解定态薛定谔方程
$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x) $$
阱外波函数为零，阱内方程简化为 $\frac{d^2\psi}{dx^2}+k^2\psi=0$，其中 $k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$，通解为 $\psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)$。由边界条件 $\psi(0)=0$ 得 $B=0$，由 $\psi(a)=0$ 得 $ka=n\pi$（$n=1,2,3,\dots$），从而得到量子化能级
$$ E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2} $$
归一化后波函数为
$$ \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) $$
文中还给出综合例题：电子处于叠加态 $\Psi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{5}}\psi_1(x)+\frac{2}{\sqrt{5}}\psi_3(x)$，随时间演化为
$$ \Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\psi_1(x)e^{-iE_1t/\hbar}+\frac{2}{\sqrt{5}}\psi_3(x)e^{-iE_3t/\hbar} $$
测量能量只能得到 $E_1$ 或 $E_3$，概率分别为 $1/5$ 和 $4/5$，且不随时间改变；能量期望值为
$$ \langle E\rangle=\frac{1}{5}E_1+\frac{4}{5}E_3=\frac{37}{5}E_1=\frac{37\pi^2\hbar^2}{10ma^2} $$
该期望值同样守恒。
对易关系是量子力学中衡量算符操作顺序差异的核心代数结构，对易子定义为
$$ [\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A} $$
若 $[\hat{A},\hat{B}]=0$，则两算符对易，对应物理量相容，可同时精确测量并共享共同本征函数；若 $[\hat{A},\hat{B}]\neq0$，则两算符不对易，对应物理量不相容，不能同时精确测量，测量其中一个必然扰乱另一个。不对易直接导致不确定性原理，通用形式为
$$ (\Delta A)^2(\Delta B)^2\ge\left(\frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle\right)^2 $$
位置与动量满足 $[\hat{x},\hat{p}_x]=i\hbar$，故有
$$ \Delta x\cdot\Delta p_x\ge\frac{\hbar}{2} $$
重要对易关系还包括角动量分量 $[\hat{L}_x,\hat{L}_y]=i\hbar\hat{L}_z$、角动量平方与分量 $[\hat{L}^2,\hat{L}_i]=0$、自旋分量 $[\hat{S}_x,\hat{S}_y]=i\hbar\hat{S}_z$ 以及轨道与自旋 $[\hat{L}_i,\hat{S}_j]=0$。文中还通过例题证明 $[\hat{L}_z,\hat{\rho}^2]=0$，即角动量 $z$ 分量与粒子到 $z$ 轴距离的平方相容，可同时精确确定，符合经典直觉。