本文档旨在对量子力学的核心概念与公式进行一次快速、系统性的回顾，适用于期末复习与核心知识点梳理。
一、 波函数与基本公设
量子力学的世界观建立在一系列基本公设之上，它们构成了我们理解微观世界的基石。
1. 波函数的概率诠释
波函数 $\psi(\mathbf{r}, t)$ 是描述微观粒子量子状态的数学函数。其物理意义由玻恩的概率诠释给出：
- 概率密度: 波函数的模平方 $|\psi(\mathbf{r}, t)|^2$ 代表在 $t$ 时刻，于 $\mathbf{r}$ 处单位体积内找到该粒子的概率密度。
区间概率: 在一维情况下，于区间 $[a, b]$ 内找到粒子的总概率为：
$$ P(a,b) = \int_a^b |\psi(x,t)|^2 dx $$
2. 波函数的标准条件
一个物理上可接受的波函数必须满足以下三个条件，以保证概率的合理解释：
- 单值性 (Single-valued)
- 连续性 (Continuous)
- 有限性 (Finite)
3. 归一化条件
由于粒子必然存在于全空间中的某处，因此波函数必须满足归一化条件：
$$ \int_{\text{all space}} |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 d\tau = 1 $$
4. 态叠加原理
态叠加原理是量子力学最核心、最独特的原理之一。
- 原理: 如果 $|\psi_1\rangle$ 和 $|\psi_2\rangle$ 都是系统的可能状态，那么它们的任意线性组合 $|\Psi\rangle = c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle$ 也是该系统的一个可能状态。
测量与坍缩: 当对处于 $|\Psi\rangle$ 态的系统测量某个物理量时，若其本征态为 $\{|\phi_n\rangle\}$，则测量结果为本征值 $a_n$ 的概率 $P(a_n)$ 为：
$$ P(a_n) = |\langle\phi_n|\Psi\rangle|^2 = |c_n|^2 $$
二、 算符、本征值与薛定谔方程
量子力学使用算符来表示物理可观测量，并通过求解本征值问题来预测测量结果。
1. 厄米算符 (Hermitian Operator)
所有物理可观测量都由厄米算符表示，它具有三大重要性质：
- 本征值为实数。
- 属于不同本征值的本征函数相互正交。
- 其本征函数系构成一个完备集。
| 物理量 | 算符 (坐标表象) |
|---|---|
| 位置 | $\hat{x} = x$ |
| 动量 (x-分量) | $\hat{p}_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ |
| 能量 (哈密顿量) | $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r})$ |
| 角动量 (z-分量) | $\hat{L}_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi}$ |
2. 薛定谔方程
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，描述了量子态如何随时间演化。
含时薛定谔方程 (Time-Dependent Schrödinger Eq.):
$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi(t)\rangle = \hat{H} |\Psi(t)\rangle $$
定态薛定谔方程 (Time-Independent Schrödinger Eq.):
这是哈密顿算符的本征值方程，用于求解系统的稳定能级和波函数。$$ \hat{H} |\psi\rangle = E |\psi\rangle $$
三、 对易关系与不确定性
1. 对易子 (Commutator)
对易子是判断两个物理量是否相容的数学工具。
定义:
$$ [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} $$
物理意义:
- $[\hat{A}, \hat{B}] = 0 \implies A$ 和 $B$ 对易，可同时精确测量。
- $[\hat{A}, \hat{B}] \neq 0 \implies A$ 和 $B$ 不对易，不可同时精确测量。
2. 重要对易关系
| 关系类型 | 公式 |
|---|---|
| 基本对易子 | $[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar$ |
| 角动量分量 | $[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z$ (及其循环置换) |
| 角动量平方与分量 | $[\hat{L}^2, \hat{L}_i] = 0 \quad (i=x,y,z)$ |
3. 不确定性原理
通用形式:
$$ (\Delta A)^2 (\Delta B)^2 \ge \left( \frac{1}{2i} \langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle \right)^2 $$
位置-动量关系:
$$ \Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} $$
四、 电子自旋与微扰理论
1. 电子自旋 (Spin)
自旋是电子的内禀角动量，没有经典对应物，其算符 $\hat{\mathbf{S}}$ 与泡利矩阵 $\hat{\boldsymbol{\sigma}}$ 的关系为 $\hat{\mathbf{S}} = \frac{\hbar}{2}\hat{\boldsymbol{\sigma}}$。
- 泡利矩阵:
自旋本征值:
- $\hat{S}^2 \implies s(s+1)\hbar^2 = \frac{3}{4}\hbar^2$
- $\hat{S}_z \implies m_s\hbar = \pm\frac{\hbar}{2}$
2. 定态微扰理论 (Perturbation Theory)
微扰理论是求解复杂系统近似解的强大工具。
非简并情况:
- 一级能量修正: $E_n^{(1)} = \langle\psi_n^{(0)}| \hat{H}' |\psi_n^{(0)}\rangle = H'_{nn}$
二级能量修正:
$$ E_n^{(2)} = \sum_{k \neq n} \frac{|\langle\psi_k^{(0)}| \hat{H}' |\psi_n^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} $$
简并情况:
- 在简并子空间中，构建微扰矩阵 $W_{ij} = \langle\psi_i^{(0)}| \hat{H}' |\psi_j^{(0)}\rangle$。
- 通过对角化矩阵 $W$ 求得一级能量修正。
作者：GARFIELDTOM
邮箱：coolerxde@gt.ac.cn