量子力学核心概念快速回顾

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本文档旨在对量子力学的核心概念与公式进行一次快速、系统性的回顾,适用于期末复习与核心知识点梳理。


一、 波函数与基本公设

量子力学的世界观建立在一系列基本公设之上,它们构成了我们理解微观世界的基石。

1. 波函数的概率诠释

波函数 $\psi(\mathbf{r}, t)$ 是描述微观粒子量子状态的数学函数。其物理意义由玻恩的概率诠释给出:

  • 概率密度: 波函数的模平方 $|\psi(\mathbf{r}, t)|^2$ 代表在 $t$ 时刻,于 $\mathbf{r}$ 处单位体积内找到该粒子的概率密度。
  • 区间概率: 在一维情况下,于区间 $[a, b]$ 内找到粒子的总概率为:

    $$ P(a,b) = \int_a^b |\psi(x,t)|^2 dx $$

2. 波函数的标准条件

一个物理上可接受的波函数必须满足以下三个条件,以保证概率的合理解释:

  • 单值性 (Single-valued)
  • 连续性 (Continuous)
  • 有限性 (Finite)

3. 归一化条件

由于粒子必然存在于全空间中的某处,因此波函数必须满足归一化条件:

$$ \int_{\text{all space}} |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 d\tau = 1 $$

4. 态叠加原理

态叠加原理是量子力学最核心、最独特的原理之一。

  • 原理: 如果 $|\psi_1\rangle$ 和 $|\psi_2\rangle$ 都是系统的可能状态,那么它们的任意线性组合 $|\Psi\rangle = c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle$ 也是该系统的一个可能状态。
  • 测量与坍缩: 当对处于 $|\Psi\rangle$ 态的系统测量某个物理量时,若其本征态为 $\{|\phi_n\rangle\}$,则测量结果为本征值 $a_n$ 的概率 $P(a_n)$ 为:

    $$ P(a_n) = |\langle\phi_n|\Psi\rangle|^2 = |c_n|^2 $$


二、 算符、本征值与薛定谔方程

量子力学使用算符来表示物理可观测量,并通过求解本征值问题来预测测量结果。

1. 厄米算符 (Hermitian Operator)

所有物理可观测量都由厄米算符表示,它具有三大重要性质:

  1. 本征值为实数
  2. 属于不同本征值的本征函数相互正交
  3. 其本征函数系构成一个完备集
物理量算符 (坐标表象)
位置$\hat{x} = x$
动量 (x-分量)$\hat{p}_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$
能量 (哈密顿量)$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r})$
角动量 (z-分量)$\hat{L}_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi}$

2. 薛定谔方程

薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程,描述了量子态如何随时间演化。

  • 含时薛定谔方程 (Time-Dependent Schrödinger Eq.):

    $$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi(t)\rangle = \hat{H} |\Psi(t)\rangle $$

  • 定态薛定谔方程 (Time-Independent Schrödinger Eq.):
    这是哈密顿算符的本征值方程,用于求解系统的稳定能级和波函数。

    $$ \hat{H} |\psi\rangle = E |\psi\rangle $$


三、 对易关系与不确定性

1. 对易子 (Commutator)

对易子是判断两个物理量是否相容的数学工具。

  • 定义:

    $$ [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} $$

  • 物理意义:

    • $[\hat{A}, \hat{B}] = 0 \implies A$ 和 $B$ 对易,可同时精确测量。
    • $[\hat{A}, \hat{B}] \neq 0 \implies A$ 和 $B$ 不对易,不可同时精确测量。

2. 重要对易关系

关系类型公式
基本对易子$[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar$
角动量分量$[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z$ (及其循环置换)
角动量平方与分量$[\hat{L}^2, \hat{L}_i] = 0 \quad (i=x,y,z)$

3. 不确定性原理

  • 通用形式:

    $$ (\Delta A)^2 (\Delta B)^2 \ge \left( \frac{1}{2i} \langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle \right)^2 $$

  • 位置-动量关系:

    $$ \Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} $$


四、 电子自旋与微扰理论

1. 电子自旋 (Spin)

自旋是电子的内禀角动量,没有经典对应物,其算符 $\hat{\mathbf{S}}$ 与泡利矩阵 $\hat{\boldsymbol{\sigma}}$ 的关系为 $\hat{\mathbf{S}} = \frac{\hbar}{2}\hat{\boldsymbol{\sigma}}$。

  • 泡利矩阵:
    letax_1752131975968.png
  • 自旋本征值:

    • $\hat{S}^2 \implies s(s+1)\hbar^2 = \frac{3}{4}\hbar^2$
    • $\hat{S}_z \implies m_s\hbar = \pm\frac{\hbar}{2}$

2. 定态微扰理论 (Perturbation Theory)

微扰理论是求解复杂系统近似解的强大工具。

  • 非简并情况:

    • 一级能量修正: $E_n^{(1)} = \langle\psi_n^{(0)}| \hat{H}' |\psi_n^{(0)}\rangle = H'_{nn}$
    • 二级能量修正:

      $$ E_n^{(2)} = \sum_{k \neq n} \frac{|\langle\psi_k^{(0)}| \hat{H}' |\psi_n^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} $$

  • 简并情况:

    1. 在简并子空间中,构建微扰矩阵 $W_{ij} = \langle\psi_i^{(0)}| \hat{H}' |\psi_j^{(0)}\rangle$。
    2. 通过对角化矩阵 $W$ 求得一级能量修正。
作者:GARFIELDTOM
邮箱:coolerxde@gt.ac.cn

标签: QUANTUM