实验数据：原子力显微镜的原理与实践

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探针与样品间的相互作用力

AFM 的最基本原理是测量一个极尖锐的探针（悬臂梁末端）与样品表面原子之间的极其微弱的相互作用力。这种力的性质随距离变化，通常可以用 Lennard-Jones 势 来描述。

Lennard-Jones 势能 $U(r)$ 描述了两个中性原子间的势能与它们之间距离 $r$ 的关系：

$$ U(r) = 4\epsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^6 \right] $$

其中，第一项是表示泡利不相容原理的强排斥力（短程力），第二项是表示范德华力的吸引力（长程力）。

力是势能对距离的负梯度，因此探针与样品间的力 $F(r)$ 为：

$$ F(r) = -\frac{dU(r)}{dr} $$

对 $U(r)$ 求导，我们得到力的具体表达式：

$$ F(r) = 4\epsilon \left[ \frac{12\sigma^{12}}{r^{13}} - \frac{6\sigma^6}{r^7} \right] $$

在实际操作中，当探针离样品很远时，$F(r)$ 几乎为零；当靠近时，首先表现为吸引力（范德华力）；当进一步靠近以至于原子轨道重叠时，迅速转变为巨大的排斥力。AFM 就是通过精确测量并利用这种力的变化来实现成像的。

潜在图（左）：显示针尖与样品原子之间的势能。当针尖从远处靠近时，它会被拉入一个低能“势阱”（范德华力）。如果针尖推得太近，它会遇到一个陡峭的能量墙（泡利排斥力）。
力图（右）：表示力，它是势能的导数。势阱的负斜率产生吸引力（负值），而陡壁则产生强大的排斥力（正值）。原子力显微镜 (AFM) 就是通过测量这些力来工作的。

实验结果与数据分析

整体分析

样品的 3D 地形图

我们分析的样本是在 $1614\ \text{nm} \times 1614\ \text{nm}$ 的扫描区域内获取的。从整体来看，该样本表面并非平坦，而是由大量紧密堆积的颗粒状或岛状结构组成，呈现出显著的地形起伏。

• 最大峰谷差 ($R_t$)：$222.95 - 7.90 = 215.05\ \text{nm}$

这个高达 $215.05\ \text{nm}$ 的峰谷差表明，表面的垂直起伏非常剧烈，几乎与一些颗粒的横向尺寸相当。

2D地形图，其中的三条不同颜色的线，代表了截面分析当中的三个截面

颗粒结构：
表面主要由大小不一的圆顶状颗粒构成。从3D图中可以清晰地看到，这些颗粒并非尖锐的针状，而是更像连绵起伏的“小山丘”。

分布规律：
颗粒的分布相对密集，但并非完全均匀。存在一些尺寸较大、高度较高的颗粒（如图中的黄色区域），同时也有大量较小的颗粒簇拥在一起。

“山谷”区域：
颗粒之间被地势较低的“沟壑”或“山谷”网络隔开（如图中的深蓝色区域）。这些区域构成了表面的基底。

截面（剖面）分析

水平截面分析

这条线清晰地揭示了最高峰的形状。在 $X \approx 908\ \text{nm}$ 处，我们看到了一个尖锐但顶部略带圆润的主峰。在主峰的左侧（$X \approx 200\ \text{nm}$ 处），还存在一个次高峰，高度约为 $190\ \text{nm}$。在 $X \approx 400\text{-}800\ \text{nm}$ 之间，地形进入了一个相对平缓的“谷底”，但仍然有小范围的波动，说明谷底也非绝对平滑。

竖直截面分析

这条剖面显示，最高峰的形状是不对称的。它的左侧（$Y \approx 400\text{-}800\ \text{nm}$）是一个相对宽阔的“高原”或“肩部”结构，而右侧（$Y > 900\ \text{nm}$）则下降得更为陡峭。这说明形成最高峰的这个大颗粒，其一侧是缓缓并入周围结构，另一侧则可能是个更独立的陡坡。

最低点到最高点截面分析

这条线展示了表面的最大高度差。从最低点出发后，地形在长达约 $800\ \text{nm}$ 的距离内，都处于一个相对较低（$100\text{-}150\ \text{nm}$）但不断起伏的平台区。在剖面的最后约 $200\ \text{nm}$ 的距离里，地形发生了急剧的、近乎垂直的爬升，从约 $100\ \text{nm}$ 迅速攀升至 $222.95\ \text{nm}$ 的顶峰。这表明，最高峰是一个非常局部化的、陡峭的突起，它从一个相对平坦的高原上拔地而起。

表面粗糙度分析 ($R_a/R_q$ 解读)

为了更科学地量化表面的“粗糙”程度，我们计算两个标准参数：平均粗糙度 ($R_a$) 和均方根粗糙度 ($R_q$)。

• $R_a$ (Average Roughness): 所有点高度相对于平均高度的绝对值的平均值。它代表了整体的、平均的粗糙程度。
• $R_q$ (Root Mean Square Roughness): 高度偏差的平方的平均值的平方根。它对极端的峰和谷更为敏感。

$R_q$ 值显著大于 $R_a$ 值，是本次分析的一个关键点。这有力地证明了表面的粗糙度主要是由少数几个非常高（或低）的异常点贡献的，而不是由大量均匀的小锯齿贡献的。这与我们观察到的那个突出的主峰完全吻合。

作者：GARFIELDTOM
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