材料简述：笼目晶格材料

1. 笼目晶格与笼目晶格超导材料

笼目晶格（kagome lattice）是一种由顶点相连的三角形构成的二维周期晶格。它的几何结构也常见于传统编织图案中。

图 1：原网页展示的传统编织图案。

笼目晶格的典型紧束缚能带结构可以包含三类重要特征：

1. 狄拉克交叉（Dirac crossings）：能带在特定动量附近线性交叉；其拓扑性质还取决于体系对称性、相互作用及可能存在的能隙等因素。
2. 平带（flat band）：能量随晶体动量变化很小，意味着相应态的色散较弱，电子关联效应可能更加显著。
3. 范霍夫奇点（van Hove singularity）：态密度在特定能量附近出现显著增强，可能促进电荷序、磁性或其他不稳定性。

近年来，笼目晶格超导材料受到广泛关注，相关研究涉及电荷密度波、反常霍尔效应、非常规超导、电子向列序及配对密度波等现象。典型材料包括

$$ A\mathrm{V}_3\mathrm{Sb}_5,\qquad A=\mathrm{K},\ \mathrm{Rb},\ \mathrm{Cs}. $$

这些现象并非所有笼目材料都必然同时具备；具体物性取决于材料组成、能带填充、晶体结构及电子相互作用等因素。

2. 晶格结构与最近邻紧束缚模型

网页中的示意图以三个子晶格（A、B、C）描述一个基元，三个子晶格点构成三角形，并按三角布拉菲晶格周期排列。

图 2：笼目晶格的平面结构示意图。

在最近邻紧束缚近似下，哈密顿量可写为

$$ H=-t\sum_{\langle i,j\rangle}c_{i\alpha}^{\dagger}c_{j\beta}+\mathrm{H.c.}, $$

其中：

• $t$ 为最近邻跃迁积分；
• $c_{i\alpha}^{\dagger}$ 和 $c_{j\beta}$ 分别为相应格点/子晶格上的电子产生与湮灭算符；
• $\langle i,j\rangle$ 表示只对最近邻键求和；
• $\mathrm{H.c.}$ 表示厄米共轭项，以保证哈密顿量为厄米算符。

笼目晶格中每个格点具有四个最近邻。若取最近邻间距为 $a_0$，网页给出的四个位移矢量可转写为

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{\ell}_{iB}&=-\frac{\sqrt{3}}{2}a_0\hat{\mathbf{x}}-\frac{1}{2}a_0\hat{\mathbf{y}},\\ \boldsymbol{\ell}_{jB}&=+\frac{\sqrt{3}}{2}a_0\hat{\mathbf{x}}+\frac{1}{2}a_0\hat{\mathbf{y}},\\ \boldsymbol{\ell}_{iA}&=+\frac{\sqrt{3}}{2}a_0\hat{\mathbf{x}}-\frac{1}{2}a_0\hat{\mathbf{y}},\\ \boldsymbol{\ell}_{jC}&=-\frac{\sqrt{3}}{2}a_0\hat{\mathbf{x}}+\frac{1}{2}a_0\hat{\mathbf{y}}. \end{aligned} $$

这里公式使用下标记法；不同文献可能采用不同的键矢量命名约定。

3. 动量空间中的哈密顿量

经傅里叶变换后，哈密顿量可写成动量空间形式：

$$ H=\sum_{\mathbf{k}}\Psi_{\mathbf{k}}^{\dagger} \mathcal{H}(\mathbf{k})\Psi_{\mathbf{k}}, \qquad \Psi_{\mathbf{k}}= \begin{pmatrix} c_{\mathbf{k}A}\\ c_{\mathbf{k}B}\\ c_{\mathbf{k}C} \end{pmatrix}. $$

为使哈密顿矩阵与下一节给出的能带表达式自洽，三阶 Bloch 哈密顿矩阵写为

$$ \mathcal{H}(\mathbf{k})= \begin{pmatrix} 0 & -2t\cos k_1 & -2t\cos k_2\\ -2t\cos k_1 & 0 & -2t\cos k_3\\ -2t\cos k_2 & -2t\cos k_3 & 0 \end{pmatrix}. $$

其中

$$ \begin{aligned} k_1&=\frac{\sqrt{3}}{2}a_0k_x+\frac{1}{2}a_0k_y,\\ k_2&=\frac{\sqrt{3}}{2}a_0k_x-\frac{1}{2}a_0k_y,\\ k_3&=a_0k_y. \end{aligned} $$

这里 $k_x$ 和 $k_y$ 为二维晶体动量的笛卡尔分量，$k_1,k_2,k_3$ 是由键矢量与动量组合得到的无量纲相位变量。

4. 能带色散关系

对 $\mathcal{H}(\mathbf{k})$ 对角化，可以得到三条能带：

$$ E_1(\mathbf{k})=2t, $$

以及

$$ E_{2,3}(\mathbf{k})=-t\pm t\sqrt{4\left(\cos^2k_1+\cos^2k_2+\cos^2k_3\right)-3}. $$

在该最近邻模型中，$E_1$ 不依赖于 $\mathbf{k}$，因此是一条平带。另两条能带具有动量色散，并可在布里渊区的特定位置形成交叉或其他特征。实际材料的能带还可能受到更远邻跃迁、自旋轨道耦合、晶格畸变及电子关联等影响。

5. 态密度函数

引入能量展宽参数 $\Gamma>0$，态密度可以用格林函数的虚部表示为

$$ \rho(\omega)=-\frac{1}{N_T\pi} \operatorname{Im}\sum_{n,\mathbf{k}} \frac{1}{\omega-E_n(\mathbf{k})+i\Gamma}. $$

利用恒等式

$$ \operatorname{Im}\frac{1}{x+i\Gamma} =-\frac{\Gamma}{x^2+\Gamma^2}, $$

可得等价表达式

$$ \boxed{ \rho(\omega)=\frac{1}{N_T\pi} \sum_{n,\mathbf{k}} \frac{\Gamma}{[\omega-E_n(\mathbf{k})]^2+\Gamma^2} }. $$

其中 $E_n(\mathbf{k})$ 为第 $n$ 条能带的能量，$\omega$ 为所考察的能量，$\Gamma$ 控制数值展宽，$N_T$ 为归一化因子。

6. 实空间基矢与倒易空间基矢

网页采用的实空间基矢为

$$ \begin{aligned} \mathbf{a}_1&=2a_0\hat{\mathbf{y}},\\ \mathbf{a}_2&=\sqrt{3}a_0\hat{\mathbf{x}}+a_0\hat{\mathbf{y}}. \end{aligned} $$

倒易基矢取为

$$ \begin{aligned} \mathbf{b}_1&=-\frac{\pi}{\sqrt{3}a_0}\hat{\mathbf{x}} +\frac{\pi}{a_0}\hat{\mathbf{y}},\\ \mathbf{b}_2&=\frac{2\pi}{\sqrt{3}a_0}\hat{\mathbf{x}}. \end{aligned} $$

它们满足倒易基矢关系

$$ \mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j=2\pi\delta_{ij}, $$

其中 $\delta_{ij}$ 为 Kronecker delta。若取 $a_0=1$，则

$$ \begin{aligned} \mathbf{b}_1&=-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\hat{\mathbf{x}}+\pi\hat{\mathbf{y}},\\ \mathbf{b}_2&=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\hat{\mathbf{x}}. \end{aligned} $$

对应的三角布拉菲晶格第一布里渊区为正六边形。

7. 能带和态密度图像

图 3：三维能带与能带俯视图。

图 4：能带（左）与态密度（右）。

一般而言，能带色散 $E_n(\mathbf{k})$ 描述电子能量随晶体动量的变化，而态密度 $\rho(\omega)$ 描述单位能量区间内可用电子态的数量。平带会使大量态聚集在相近能量处；鞍点附近则可能出现范霍夫奇点。这些特征为研究笼目材料中的电荷序、磁性、拓扑行为和超导态提供了能带结构基础。

8. 关键符号速查

9. 参考资料

1. 中国物理学会期刊网：笼目晶体中探索未知量子态。
2. 笼目（Kagome）晶格的能带和态密度（哔哩哔哩专栏）。