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一、实验目的
- 了解电子天平的使用方法。
- 掌握流体静力称衡法，熟练用该方法测量不规则物体的密度。
- 锻炼转换思维，间接地思考问题。
二、实验仪器
电子天平、烧杯、铜环、蜡块、细线
三、实验原理
物体密度定义为质量与体积之比，即 $\rho = m/V$。对于外形不规则的物体，体积难以直接测量，采用流体静力称衡法（阿基米德原理）间接求得。
实验装置中，将容器及纯净水置于电子天平秤盘上，示值为 $m_1$；将待测固体用细线悬没于水中，细线固定于天平顶盖，此时示值变为 $m_2$。由牛顿第三定律，浮力反作用于水，使天平示值增大，故：
$$m_2 g = m_1 g + \rho_0 g V \implies V = \frac{m_2 - m_1}{\rho_0}$$
待测固体密度为：
$$\rho_{\text{固}} = \frac{m}{m_2 - m_1}\rho_0$$
由于蜡块密度小于水，不能单独沉入水中，需将铜环与蜡块同时悬没，利用铜环的排水体积差分求蜡块体积：
$$V_{\text{蜡}} = \frac{M' - m_{\text{水+杯}} - m_{\text{铜}} - m_{\text{蜡}}}{\rho_0} - V_{\text{铜}}= \frac{M - M'_{\text{仅铜}}}{\rho_0}$$
更简洁地，铜环排水体积 $V_{\text{铜}} = \dfrac{M - m_{\text{水+杯}}}{\rho_0}$，铜环与蜡块总排水体积 $V_{\text{总}} = \dfrac{M' - m_{\text{水+杯}}}{\rho_0}$，蜡块排水体积 $V_{\text{蜡}} = V_{\text{总}} - V_{\text{铜}}$，则：
$$\rho_{\text{铜}} = \frac{m_{\text{铜}} \rho_0}{M - m_{\text{水+杯}}}, \qquad \rho_{\text{蜡}} = \frac{m_{\text{蜡}} \rho_0}{M' - M}$$
式中 $\rho_0$ 为实验温度下纯净水的密度（查表得），$M$ 为铜环浸没时天平示值，$M'$ 为铜环与蜡块同时浸没时的天平示值。
四、实验步骤
- 接好电子天平电源，用烧杯装约三分之二的水备用。
- 旋转天平底座旋钮，使水平仪气泡居中，调节水平。
- 打开电源，按调零键归零。
- 分别称量铜环质量 $m_{\text{铜}}$ 和蜡块质量 $m_{\text{蜡}}$，各测5次取平均值。
- 将装水烧杯置于秤盘，测得质量 $m_{\text{水+杯}}$，测5次取平均值。
- 用细绳将铜环绑好悬没于水中（不触碰杯底和杯壁），测得示值 $M$，测5次取平均值。
- 将铜环与蜡块一起绑好悬没于水中，测得示值 $M'$，测5次取平均值。
- 实验结束，倒掉水，用纸巾擦干烧杯、铜环和蜡块，关闭天平，拔掉电源。
五、实验数据记录与处理
水密度： 取室温约20℃，$\rho_0 = 0.998\ \text{g/cm}^3$
$m_{\text{水杯}}$ 处理： 第一次读数84.538与后四次（84.486～84.482）相差约0.05g，明显偏离，应为未稳定时的读数，予以剔除，取后四次均值。
5.1 各量平均值计算
表1 各量原始数据及平均值（单位：g）
| 次数 | $m_{\text{铜}}$ | $M_{\text{铜}}$ | $m_{\text{铁}}$ | $M_{\text{铁}}$ | $m_{\text{铝}}$ | $M_{\text{铝}}$ | $m_{\text{蜡}}$ | $M'_{\text{蜡+铝}}$ | $m_{\text{水杯}}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 11.720 | 85.926 | 9.706 | 85.594 | 3.519 | 85.755 | 2.857 | 88.833 | |
| 2 | 11.713 | 85.926 | 9.706 | 85.593 | 3.512 | 85.761 | 2.856 | 88.824 | 84.486 |
| 3 | 11.721 | 85.925 | 9.707 | 85.592 | 3.514 | 85.761 | 2.856 | 88.819 | 84.484 |
| 4 | 11.720 | 85.925 | 9.708 | 85.592 | 3.513 | 85.762 | 2.857 | 88.816 | 84.483 |
| 5 | 11.720 | 85.924 | 9.707 | 85.591 | 3.512 | 85.758 | 2.856 | 88.823 | 84.482 |
| 均值 | 11.7188 | 85.9252 | 9.7068 | 85.5924 | 3.5140 | 85.7594 | 2.8564 | 88.8230 | 84.484 |
5.2 密度计算
密度公式：
$$\rho = \frac{m \cdot \rho_0}{M - m_{\text{水杯}}}$$
蜡块（密度小于水，借助铝块沉入）的蜡块排水体积由 $M'_{\text{蜡+铝}} - M_{\text{铝}}$ 给出，故：
$$\rho_{\text{蜡}} = \frac{m_{\text{蜡}} \cdot \rho_0}{M'_{\text{蜡+铝}} - M_{\text{铝}}}$$
表2 各材料密度计算
| 材料 | $m$（g） | $M$或$\Delta M$（g） | $M - m_{\text{水杯}}$（g） | $\rho$（g/cm³） |
|---|---|---|---|---|
| 铜环 | 11.7188 | $M_{\text{铜}}=85.9252$ | $85.9252-84.484=1.4412$ | $11.7188\times0.998/1.4412=\mathbf{8.115}$ |
| 铁 | 9.7068 | $M_{\text{铁}}=85.5924$ | $85.5924-84.484=1.1084$ | $9.7068\times0.998/1.1084=\mathbf{8.740}$ |
| 铝 | 3.5140 | $M_{\text{铝}}=85.7594$ | $85.7594-84.484=1.2754$ | $3.5140\times0.998/1.2754=\mathbf{2.750}$ |
| 蜡 | 2.8564 | $\Delta M=88.8230-85.7594=3.0636$ | — | $2.8564\times0.998/3.0636=\mathbf{0.930}$ |
5.3不确定度计算
各量不确定度由 A类（统计）+ B类（仪器） 合成，$n=5$ 时 $t=2.776$，$n=4$ 时 $t=3.182$，电子天平精度0.001g，取 $\Delta_B = 0.001\ \text{g}$。
表3 各量A类不确定度
| 量 | $n$ | $\sigma$（g） | $\Delta_A = t\sigma/\sqrt{n}$（g） | $\Delta_B$（g） | $\Delta = \sqrt{\Delta_A^2+\Delta_B^2}$（g） |
|---|---|---|---|---|---|
| $m_{\text{水杯}}$ | 4 | 0.00170 | 0.00271 | 0.001 | 0.0029 |
| $m_{\text{铜}}$ | 5 | 0.00327 | 0.00406 | 0.001 | 0.0042 |
| $M_{\text{铜}}$ | 5 | 0.000837 | 0.00104 | 0.001 | 0.0014 |
| $m_{\text{铁}}$ | 5 | 0.000837 | 0.00104 | 0.001 | 0.0014 |
| $M_{\text{铁}}$ | 5 | 0.00114 | 0.00141 | 0.001 | 0.0017 |
| $m_{\text{铝}}$ | 5 | 0.00292 | 0.00362 | 0.001 | 0.0038 |
| $M_{\text{铝}}$ | 5 | 0.00288 | 0.00358 | 0.001 | 0.0037 |
| $m_{\text{蜡}}$ | 5 | 0.000548 | 0.000680 | 0.001 | 0.0012 |
| $M'_{\text{蜡+铝}}$ | 5 | 0.00644 | 0.00800 | 0.001 | 0.0081 |
密度的合成相对不确定度（方和根法）：
对于 $\rho = m\rho_0/(M-m_{\text{水杯}})$，其中 $\Delta(M-m_{\text{水杯}}) = \sqrt{\Delta M^2 + \Delta m_{\text{水杯}}^2}$：
$$\frac{\Delta\rho}{\rho} = \sqrt{\left(\frac{\Delta m}{m}\right)^2 + \left(\frac{\Delta(M-m_{\text{水杯}})}{M-m_{\text{水杯}}}\right)^2}$$
表4 各材料不确定度汇总
| 材料 | $\Delta(M-m_{\text{水杯}})$（g） | $M-m_{\text{水杯}}$（g） | $\Delta\rho/\rho$ | $\Delta\rho$（g/cm³） |
|---|---|---|---|---|
| 铜 | $\sqrt{0.0014^2+0.0029^2}=0.0032$ | 1.4412 | $\sqrt{(0.0042/11.719)^2+(0.0032/1.441)^2}=0.0023$ | 0.02 |
| 铁 | $\sqrt{0.0017^2+0.0029^2}=0.0034$ | 1.1084 | $\sqrt{(0.0014/9.707)^2+(0.0034/1.108)^2}=0.0031$ | 0.03 |
| 铝 | $\sqrt{0.0037^2+0.0029^2}=0.0047$ | 1.2754 | $\sqrt{(0.0038/3.514)^2+(0.0047/1.275)^2}=0.0041$ | 0.01 |
| 蜡 | $\sqrt{0.0081^2+0.0037^2}=0.0089$ | 3.0636 | $\sqrt{(0.0012/2.856)^2+(0.0089/3.064)^2}=0.0030$ | 0.003 |
5.4 最终结果与误差分析
表5 测量结果汇总
| 材料 | 测量值 $\rho \pm \Delta\rho$（g/cm³） | 相对不确定度 $E_r$ | 理论值（g/cm³） | 与理论值偏差 |
|---|---|---|---|---|
| 铜环 | $8.12 \pm 0.02$ | 0.23% | 8.50（黄铜） | −4.5% |
| 铁 | $8.74 \pm 0.03$ | 0.31% | 7.87（纯铁） | +11.1% |
| 铝 | $2.75 \pm 0.01$ | 0.41% | 2.70 | +1.9% |
| 蜡 | $0.930 \pm 0.003$ | 0.29% | ~0.90 | ~3.3% |
5.5 误差来源讨论
铝和蜡的结果较好，相对理论值偏差在合理范围内。
铁的偏差达+11.1%，远超仪器不确定度，应有系统误差，可能原因是：铁块表面附着气泡，使浮力偏小，天平示值 $M_{\text{铁}}$ 偏低，$M_{\text{铁}}-m_{\text{水杯}}$ 偏小，导致计算密度偏高。
铜的偏差约−4.5%，若与黄铜理论值（8.50 g/cm³）比较偏差为−4.5%，若为纯铜则偏差更大，可能铜环成分偏离标准黄铜，或存在同样的气泡问题。
共同的系统误差来源还包括：实验用水非纯净水（实际 $\rho_0$ 略低于0.998）；细线体积未扣除（引起微小浮力）；天平水平未完全满足。
作者：GARFIELDTOM
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